建築 -> 光環境導出
1.太陽高度・太陽方位角の導出
原点:O 太陽:Sとおく。
地面をP1、W・E・Z・Z'を通る平面をP2と置き、SからP1・P2に下ろした垂線の足をそれぞれM・Nとする。
太陽の軌跡をCとし、軌跡の中心をO'とする。
TからSN軸・EW軸に下ろした垂線の足をそれぞれP・Qとする。
太陽高度:h 太陽方位角:A 緯度:φ 太陽赤緯:δ 時角:t
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↑左下にLと書いてますが、Qと同じです
(i):δ=0のとき
:φ=0のとき、$ \sin h=\cos t このときのCをC0とおく。
φ≠0のとき、CのP2への射影は、C0のP2への射影をZ-Z'軸方向でcosφ倍に潰した楕円形となる。
ここで、NQ=MSより、
$ \overline{MS}=\overline{NQ}=\overline{OS}\cos t\cos\varphi
以上より、$ \sin h=\cos t\cos\varphi
一方、CのP1への射影は、C0と同じサイズでOを中心とするP1上の円をS-N(南北)軸方向でsinφ倍に潰した楕円形となる。
よって、
$ \sin A=\frac{\overline{OQ}}{\overline{OT}}=\frac{\sin t}{\cos h}
$ \cos A=\frac{\overline{OP}}{\overline{OT}}=\frac{\sin\varphi\cos t}{\cos h}=\frac{\sin h\sin\varphi}{\cos h\cos\varphi}
(ii)δ≠0のとき
φ=0のとき、O'はN-S軸上にある。
ここで、$ \overline{OS}=\frac{\overline{O'S}}{\cos\delta}より、
$ \sin h=\frac{\overline{ST}}{\overline{OS}}=\cos t \cos\delta
φ≠0のとき、$ \overline{OO'}=\overline{OS}\sin\deltaより、
CのP2への射影は、C0のP2への射影をZ-Z'軸方向でcosφ倍に潰し、Z方向へOS・sinδ・sinφだけ平行移動した楕円形となる。
よって、
$ \sin h=\frac{\overline{ST}}{\overline{OS}}=\frac{\overline{NQ}}{\overline{OS}}=\frac{\overline{O'S}\cos t\cos\varphi+\overline{OS}\sin\delta\sin\varphi}{\overline{OS}}=\cos\varphi\cos\delta\cos t+\sin\varphi\sin\delta
一方、CのP1への射影は、C0と同じサイズでOを中心とするP1上の円をS-N(南北)軸方向でsinφ倍に潰し、N(北)方向へOS・sinδ・cosφだけ平行移動した楕円形となる。
よって、
$ \sin A=\frac{\overline{OQ}}{\overline{OT}}=\frac{\sin t\cos\delta}{\cos h}
$ \cos A=\frac{\overline{OP}}{\overline{OT}}=\frac{\sin\varphi\cos t\cos\delta-\sin\delta\cos\varphi}{\cos h}=\frac{\sin h\sin\varphi-\sin^2\varphi\sin\delta-\cos^2\varphi\sin\delta}{\cos h\cos\varphi}
$ \therefore \cos A=\frac{\sin h\sin\varphi-\sin\delta}{\cos h\cos\varphi}\ \ _\blacksquare
2.日射量
直達日射量を計算する。m:質量通過距離
太陽高度90°のとき、日射量:Jが大気の質量ρdx=dmごとにdJ減衰するとすれば、次の式が成り立つ。
$ dJ=-αJdm ただし、α:消散係数
よって、法線面直達日射について$ J_{dn}=J_0e^{-am_0}
太陽高度がhのときm0は1/sin(h)倍となるから、一般に
$ J_{dn}=J_0P^{\frac{1}{\sin h}} ただし、$ P=e^{-am_0}: 大気透過率 (Bouguerの式)
一方、天空日射量を表現するBerlageの式は、観測に基づいた実験式である。
直達日射量について、
水平面直達日射量は$ J_{dh}=J_{dn}\sin h、
鉛直面直達日射量は$ J_{dv}=J_{dn}\cos h\cos(A-A_v)である。
また、直達日射をベクトルと置くと、
$ \bm{J_{dn}}=\bm{J_{dh}}+\bm{J_{dv}} ただし$ |\bm{J_{dh}}|=J_{dn}\sin h,\ \ |\bm{J_{dv}}|=J_{dn}\cos hと分解できる。
日射量は単位法線ベクトルとJ_dnの内積で表されるから、傾斜面の直達日射量は
$ J_{d\theta}=\bm{J_{dn}}\cdot\bm{n}=(\bm{J_{dh}}+\bm{J_{dv}})\cdot\bm{n}=J_{dn}\{\cos\theta\sin h+\sin\theta\cos h\cos(A-A_0)\}
天空日射量について、
傾斜面の天空に対する形態係数は、
$ F=\frac{\int_0^{\pi-\theta}\!\!\int_0^\pi\sin\varphi\sin\theta d\varphi d\theta}{\int_0^{\pi}\!\!\int_0^\pi\sin\varphi\sin\theta d\varphi d\theta}=\frac{\int_0^{\pi-\theta}\sin\theta d\theta}{\int_0^{\pi}\sin\theta d\theta}=\frac{1}{2}(1+\cos\theta)=\cos^2\frac{\theta}{2}
よって傾斜面の天空日射量は
$ J_{s\theta}=\cos^2\frac{\theta}{2}J_{sh}
特に鉛直面について、$ J_{sv}=\frac{1}{2}J_{sh}
3. 線光源・面光源の性質
照度・光束発散度・光度・輝度の定義はそれぞれ以下の通りである。
$ E=\frac{dF}{dS},\ M=\frac{dF}{dS},\ I=\frac{dF}{d\omega},\ L_\theta=\frac{dI_\theta}{dS\cos\theta}
$ \omega=S/r^2より、法線面照度は$ E_n=I/r^2であり、
光源方向に対して傾いた面については、$ E_{n}=I\cos\theta/r^2であると分かる。
(i)完全等輝度面を考える。
法線方向および法線方向から角度θずれたときの輝度は、それぞれ
$ L_n=\frac{I_n}{dS}
$ L_\theta=\frac{I_\theta}{dS\cos\theta}
これらが等しいから、$ I_\theta=I_n\cos\theta(Lambertの余弦則)
よって、完全等輝度面から距離rの半球に放射される光束は、以下のようになる。
$ F=\int I_\theta d\omega=\int \frac{I_\theta}{r^2}dS=\int_0^{\pi/2}\!\!\int_0^{2\pi}\frac{I_n\cos\theta}{r^2}\cdot r^2\sin\theta d\varphi d\theta=\pi I_n
また、$ M=\frac{dF}{dS}=\pi Lが成り立つ。
(ii)x1~x2を区間とする線光源を考える。
線光源を含む直線からr離れた点での法線面照度は$ x=r\tan\thetaより
$ E_n=\int\frac{I\cos\theta}{R^2}dx=\int_{x_1}^{x_2}\frac{(I_n\cos\theta)\cos\theta}{(r/\cos\theta)^2}dx=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\frac{I_n\cos^2\theta}{r}d\theta
(iii)完全等輝度面の面光源を考える。
光源dSから受光点の角度をθ、受光点での入射角をβとすると、
$ E_n=\int_S \frac{I\cos\beta}{r^2}dS=\int_S\frac{L\cos\theta\cos\beta}{r^2}dS=\pi LU
ただし、ここで$ U=\int_S\frac{\cos\theta\cos\beta}{\pi r^2}dS(立体角投射率) とおいた。
4. 間接光
5. 昼光率
(i)長方形窓に垂直な面での立体角投射率を考える。
cosβ =z/r、cosθ=y/rより、窓の角から垂直にz離れた微小面での立体角投射率は、
$ U=\frac{1}{\pi}\int_0^x\!\!\int_0^y\frac{yzdxdy}{(x^2+y^2+z^2)^2}=\frac{1}{2\pi}\int_0^x\left(\frac{z}{x^2+z^2}-\frac{z}{x^2+y^2+z^2}\right)dx
よって、
$ U=\frac{1}{2\pi}\left(\tan^{-1}\frac{x}{z}+\frac{z}{\sqrt{y^2+z^2}}\tan^{-1}\frac{x}{\sqrt{y^2+z^2}}\right)
(ii)長方形窓に水平な面での立体角投射率を考える。
まず一般的な場合について、ベクトル形式で考える。
各単位ベクトルを$ \hat\bm xとすると、
$ U=\int_S\frac{(\hat\bm r\cdot\hat\bm{n_p})(-\hat\bm r\cdot\hat\bm n)}{\pi r^2}dS=\int_S(\bm T\cdot\hat\bm n)dS ただし$ \bm T=-\frac{\hat\bm r\cdot\hat\bm{n_p}}{\pi r^3}\bm r
ここで、$ \bm T=\bm\nabla\times \bm H (1) を満たすHが存在するとする。
このとき$ H=\hat\bm x P+\hat\bm y G+\hat\bm z Rとすると、Stokesの定理より
$ U=\int_S(\bm\nabla\times\bm H)\cdot\hat\bm nds=\oint(Pdx+Gdy+Rdz) (2)
$ F=\frac{\hat\bm{r}\cdot\hat\bm{n_p}}{\pi r^3}とおくと、
$ \bm T=-Fr\hat\bm r=F\{(x_p-x)\hat\bm x+(y_p-y)\hat\bm y+(z_p-z)\hat\bm z\}(3)
(1)(3)式より、下記の連立方程式が求まる。
$ \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial G}{\partial z}=F(x_p-x),$ \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=F(y_p-y),$ \frac{\partial G}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=F(z_p-z)
Sparrowの方法により、
$ P=\{-(z-z_p)\cos\gamma_p+(y-y_p)\cos\zeta_p\}/2r^2
$ G=\{-(z-z_p)\cos\alpha_p+(x-x_p)\cos\zeta_p\}/2r^2
$ R=\{-(y-y_p)\cos\alpha_p+(x-x_p)\cos\gamma_p\}/2r^2
ただし、ここでα・γ・ζは
$ \hat\bm{n_p}=\hat\bm x\cos\alpha_p+\hat\bm y\cos\gamma_p+\hat\bm z\cos\zeta_pを満たす角度である。
これらを(2)式に代入することで、Uを求めることができる。
問題としている場合について考える。
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図のように座標を取ると、$ \cos\alpha_p=\cos\gamma_p=0,\ \cos\zeta_p=1より
$ U=\oint\frac{ydx+xdy}{\pi (x^2+y^2+z^2)}=\frac{1}{\pi}\left(\int_0^y\frac{xdy}{x^2+y^2+z^2}+\int_0^x\frac{ydx}{x^2+y^2+z^2}\right)
$ \therefore U=\frac{1}{2\pi}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+z^2}}\tan^{-1}\frac{y}{\sqrt{x^2+z^2}}+\frac{y}{\sqrt{y^2+z^2}}\tan^{-1}\frac{x}{\sqrt{y^2+z^2}}\right)
参考文献:
田中俊六ほか 「最新建築環境工学 改訂3版」
肥後尚志・篠田之孝 「周回積分法による直射照度の算出」